

\section{Maxwell–Eucken 模型}
多篇计算多孔材料热导率论文中都用到了该模型，它把多孔材料看作由连续基体相和稀疏分布的球形孔洞组成，通过求解单个球形夹杂在均匀温度梯度下的温度场扰动，并利用体积平均方法得到有效热导率随孔隙率的变化关系。

\subsection{基本假设}
(1) 材料由连续固体基体相 $k_s$ 和分散的球形孔隙相 $k_p$ 组成；\\
(2) 孔隙为封闭、均匀分布，体积分数 $\phi$ 较小（通常 $\phi < 0.15$），各球之间相互影响可以忽略；\\
(3) 稳态导热，忽略辐射和对流，仅考虑导热。

\subsection{单个球形夹杂中的温度场}

在无限大的固体基体中放入一个半径为 $a$ 的球形夹杂，相内导热率为 $k_p$，相外为 $k_s$。
远处施加均匀温度梯度 $G$（沿 $z$ 方向），即 $T_\infty = -Gz$。

稳态导热满足：
\[
\nabla \cdot (k \nabla T) = 0.
\]

球内外均满足 Laplace 方程：
\[
\nabla^2 T = 0.
\]

采用轴对称形式，温度场可写为：
\[
T_{\mathrm{out}}(r,\theta)
=
-G r\cos\theta + \frac{B\cos\theta}{r^{2}},\qquad r\ge a
\]
\[
T_{\mathrm{in}}(r,\theta)
=
-CG r\cos\theta,\qquad r\le a.
\]

\subsection{边界条件与常数求解}

温度连续：
\[
-CGa\cos\theta
=
-Ga\cos\theta + \frac{B\cos\theta}{a^{2}}
\quad\Rightarrow\quad
B = a^{3}G(1-C).
\]

法向热流连续：
\[
-k_p\frac{\partial T_{\mathrm{in}}}{\partial r}
=
-k_s\frac{\partial T_{\mathrm{out}}}{\partial r}.
\]

计算径向导数：
\[
\frac{\partial T_{\mathrm{in}}}{\partial r}=-CG\cos\theta,
\]
\[
\frac{\partial T_{\mathrm{out}}}{\partial r}
=
-G\cos\theta - 2B\cos\theta/a^{3},
\]

代入 $B=a^{3}G(1-C)$ 得：
\[
\frac{\partial T_{\mathrm{out}}}{\partial r}\Big|_{a}
=
(-3+2C)G\cos\theta.
\]

代入热流连续条件：
\[
k_p C = k_s(3-2C).
\]

求得：
\[
C(k_p+2k_s)=3k_s
\quad\Rightarrow\quad
C = \frac{3k_s}{k_p +2k_s}.
\]

\subsection{稀疏球分散的等效导热率}

单球扰动呈偶极型，稀疏情况下可线性叠加，经体积平均可得：

\[
k_{\mathrm{eff}}
=
k_s
\frac{
	k_p + 2k_s + 2\phi(k_p-k_s)
}{
	k_p + 2k_s - \phi (k_p-k_s)
}.
\]

\subsection{使用范围}
$\phi < 0.15$（低孔隙率）；
封闭孔、球形、均匀分散；
可作为低孔隙率区基准模型。
\subsection{模型扩展}
对于更高浓度的孔隙，需要采用其他模型进行修正，下面仅给出结论：

Landauer有效介质模型
\[
k = \frac{1}{4}\left[
A + \sqrt{A^2 + 8k_s k_p}
\right].
\]

\[
A = k_p(3\phi-1) + k_s(2-3\phi).
\]

($0.15 \le \phi \le 0.65$)；\\

Hashin-Shtrikman 上限模型
\[
k_{\mathrm{HS}}^{+}
=
k_s
+
\frac{\phi}{
	\dfrac{1}{k_p-k_s} + \dfrac{1-\phi}{3k_s}
}.
\]
（$\phi>0.65$）；\\

至此得到了不同孔洞浓度下热导率与浓度的关系。{\cite{smith2013thermal}}